Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.48.0-wmf.1 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 21609 987908 938650 2026-10-30T10:09:28Z Ticomolow 81272 Amélioration formulation 987908 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ De par sa concentration de plus en plus dense au sein de zones urbaines, la pollution humaine de son environnement augmente également. Pour éviter ses nuisances, des systèmes assez complexes dont le traitement des eaux usées, souillées par l'homme, ont été développé. {{AutoCat}} lnxwqb8xeghki5zac7yyr3p07zn0hjr 0 21612 987911 912929 2026-10-30T10:19:54Z Ticomolow 81272 Amélioration formulation et ajouts de quelques petites précisions et nuances avec notamment l'ajout d'une mention concernant notamment la politique publique française en matière de gestion de l'eau 987911 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = urbanisme | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../La station d'épuration/]] | niveau = 7 }} == Introduction == '''Le cas de systèmes d'assainissement collectifs''' Les eaux usées des logements et lieux de fréquentations humaines sont évacuées dans un réseau d'égout par le biais de canalisations qui maillent le territoire habité. Dans le cas où ce réseau récupère également des eaux pluviales, on parle de réseau unitaire. Sinon, on parle de réseau séparatif. Le réseau d'égouts se compose de plusieurs collecteurs et nombre de branchements avant de rejoindre une station de traitement des eaux usées, aussi appelée station d’épuration. Dans certains pays comme le Canada, il est interdit de concevoir un réseau d'égouts d'eaux usées qui collecte également les eaux pluviales. En France, la politique de gestion de l'eau consiste également en cette séparation distincte entre ces eaux de différente nature. Toutefois, de nombreuses villes et villages de toute taille dispose encore, en 2026, d'un réseau unitaire réalisé souvent depuis plusieurs décennies, avant que cette politique s'affine et se précise dans l'objectif de réduire une surcharge des stations d'épuration lors d'événements pluvieux relativement intense. Le raccordement des habitations au réseau d’assainissement urbain fait souvent l’objet d’une réglementation. Par exemple, en France, il s’agit notamment des articles [http://legifrance.gouv.fr/affichCode.do;jsessionid=0CE7EE0CB8DD8984F5937D9AD85B0626.tpdjo15v_2?idSectionTA=LEGISCTA000006171062&cidTexte=LEGITEXT000006072665&dateTexte=20120426 L1331-1 à L1331-11] du code de la santé publique sur la « salubrité des immeubles et des agglomérations ». L’eau est salie après usage : si elle n’est pas traitée avant de rejoindre le milieu naturel, elle est susceptible de nuire gravement aux écosystème et peut engendrée une destruction partielle ou totale de la faune et de la flore. {{Bas de page | idfaculté = urbanisme | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../La station d'épuration/]] }} 567wjo9oazxek5q53v64wkfsh3ozqxs 0 21613 987913 947565 2026-10-30T10:25:15Z Ticomolow 81272 Amélioration formulation et ajouts de quelques petites précisions et nuances 987913 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = urbanisme | numéro = 2 | précédent = [[../Introduction/]] | suivant = [[../Les traitements (primaires et secondaires)/]] | niveau = 7 }} == La station d'épuration == La station d'épuration est une station chargée de traiter les eaux usées afin de permettre de les rejeter dans le milieu naturel en répondant à des normes de qualité et seuils de référence estimés acceptable par les entreprises et collectivités chargées de leur mise en œuvre et entretien. La concentration des produits nocifs dans les eaux rejetées par une station d'épuration est réglementée et fait généralement l'objet d'une surveillance par des organismes de contrôle au sein des États ayant des technologies de traitement des eaux avancés. [[Fichier:Shéma de l'épuration.jpg]] {{Bas de page | idfaculté = urbanisme | précédent = [[../Introduction/]] | suivant = [[../Les traitements (primaires et secondaires)/]] }} 4lb5bk4roxjhwicmyhfjcv4aijdmgrr 0 72871 987904 744497 2026-10-30T04:25:40Z DMacks 10937 higher quality image 987904 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = chimie | niveau = 12 | numéro = 5 | précédent = [[../Traitement de l’eau d’un bassin d’ornement/]] }} La bouteille magique est une bouteille contenant une solution de bleu de méthylène et de glucose en milieu basique. Cette solution a pour particularité de devenir bleue quand on l’agite et de redevenir incolore quand elle est au repos. Lorsqu'on agite de la solution, du dioxygène rentre en contact avec le bleu de méthylène qui est alors oxydé. Lorsque la solution est au repos, le dioxygène n'est alors plus présent dans la solution et le bleu de méthylène réagit avec le glucose pour être réduit. <gallery> Methylene blue-2d-skeletal.svg|Espèce oxydante : bleu Leucomethylene blue.svg|Espèce réduite : incolore </gallery> # Écrire la formule semi-développée du bleu de méthylène lorsqu'il est réduit. # À l'aide de vos connaissances et des informations ci-dessus, vous rédigerez un '''petit''' paragraphe (maximum 100 mots) permettant d'expliquer les changements de couleur de la bouteille magique. {{Solution|contenu= <ol> <li> Formule semi-développée : <gallery> File:Leucomethylene blue.svg </gallery> </li> <li> En agitant la solution, le bleu de méthylène réagit avec O₂ pour former une molécule avec 7 doubles liaisons conjugées successives. Au repos, il n'y a plus de O₂ dans la solution et l'espèce colorée réagit alors avec le glucose pour former une molécule avec maximum de 3 liaisons conjugées succcessives. Il faut au moins 7 doubles liaisons conjugées successives pour que la molécule soit colorée si elle n’a pas de groupes caractéristiques. </li> </ol>}} 5i3h1z3deojy6o1htrw7ukcy61tyybf 2 83248 987918 924949 2026-10-30T11:38:54Z Philobule 75290 987918 wikitext text/x-wiki === Présentation === Je suis professeur de philosophie, contributeur à Wikipédia depuis mars 2023. Je propose des leçons de philosophie et des commentaires d'œuvres philosophiques sur Wikiversité, à l'intention tout particulièrement de mes étudiants. {{BUtilisateur|couleur = #B0C0FF|img = {{Idfaculté/logo/philosophie}}|img-titre = Philosophie|titre = Philosophie|texte = Je contribue à la [[Faculté:Philosophie|faculté de philosophie]].|catégorie=Utilisateurs de la faculté Philosophie|nocat = {{{nocat|}}}}} {{Utilisateur Projet/Philosophie}} {{clr}} === Mes cours === ⇒ '''[[Discours de la méthode (Descartes)|Leçons sur le ''Discours de la méthode'' de Descartes]]''' ----- [[Utilisateur:Philobule/Brouillon|Brouillon et notes pour moi-même]] hi4twxfrvnllha3z7qjm9u30kzoito0 0 87390 987884 987882 2026-10-29T12:40:06Z Phl7605 31541 /* Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement */ 987884 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le portrait de phase du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)\,</math> dont l'énergie potentielle de pesanteur s'écrit «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}\,</math> dont }}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> est «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}\,</math> dont l'énergie cinétique}} «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} f6m6e1x2pyc6a14yu0ocrpt9eostiqb 987885 987884 2026-10-29T12:41:43Z Phl7605 31541 /* Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement */ 987885 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le portrait de phase du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}\,</math> dont }}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> est «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}\,</math> dont l'énergie cinétique}} «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} ie9twmui3lcgc430j8fnvpjcv3gf6mu 987886 987885 2026-10-29T12:43:58Z Phl7605 31541 /* Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement */ 987886 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le portrait de phase du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique}} «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} hcdh1vmczbsk3rgl799we05ue1a8a7r 987887 987886 2026-10-29T12:53:51Z Phl7605 31541 /* Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement */ 987887 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le portrait de phase du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>\;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie mécanique du P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «<math>\;\color{transparent}{E_m\!(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». {{Al|5}}le poids du solide constituant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} 70092f7cbz6ggn3ej82iakfnmklwicx 987888 987887 2026-10-29T12:55:49Z Phl7605 31541 /* Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement */ 987888 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le portrait de phase du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique}}«<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>\;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie mécanique du P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «<math>\;\color{transparent}{E_m\!(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». {{Al|5}}le poids du solide constituant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} 50cpjzayc9xd17aeu8nnk10zbtcl4v9 987889 987888 2026-10-29T13:09:32Z Phl7605 31541 /* Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement */ 987889 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le portrait de phase du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique}}«<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>\;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie mécanique du P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «<math>\;\color{transparent}{E_m\!(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{P.P.N.A.}}(t) + U_{\text{pes}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P..P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} akz3b7o3s6dx0pwuquc70glhvwmq4yb 987890 987889 2026-10-29T13:10:06Z Phl7605 31541 /* Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement */ 987890 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le portrait de phase du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique}}«<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>\;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie mécanique du P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «<math>\;\color{transparent}{E_m\!(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{P.P.N.A.}}(t) + U_{\text{pes}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P..P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} kv4cir7er0jlmn6k6l70rgnuccer1yr 987891 987890 2026-10-29T13:10:50Z Phl7605 31541 /* Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement */ 987891 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le portrait de phase du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique}}«<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>\;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie mécanique du P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «<math>\;\color{transparent}{E_m\!(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{P.P.N.A.}}(t) + U_{\text{pes}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P..P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} 3n191ogr7mdsykgq1mhlkdzwlw0oqrd 987892 987891 2026-10-29T16:11:59Z Phl7605 31541 /* Quelques commentaires */ 987892 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le portrait de phase du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique}}«<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>\;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie mécanique du P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «<math>\;\color{transparent}{E_m\!(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{P.P.N.A.}}(t) + U_{\text{pes}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P..P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}n'étant pas parabolique <math>\,\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\,\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <math>\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. est }}<math>\blacktriangleright\;</math>« révolutive pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le portrait de phase du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} ebr962bxz8qbra8nkhwjc6bi89k9jmp 987893 987892 2026-10-29T16:20:31Z Phl7605 31541 /* Quelques commentaires */ 987893 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le portrait de phase du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique}}«<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>\;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie mécanique du P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «<math>\;\color{transparent}{E_m\!(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{P.P.N.A.}}(t) + U_{\text{pes}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P..P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}n'étant pas parabolique <math>\,\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\,\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <math>\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. est }}<math>\blacktriangleright\;</math>« révolutive pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="étude du mouvement d'un P.P.N.A. par diagramme d'énergies"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> puis <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le portrait de phase du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} dqn25mw3tkmmr2b37tffle2r6cquk4n 987894 987893 2026-10-29T16:26:58Z Phl7605 31541 /* Quelques commentaires */ 987894 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le portrait de phase du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique}}«<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>\;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie mécanique du P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «<math>\;\color{transparent}{E_m\!(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{P.P.N.A.}}(t) + U_{\text{pes}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P..P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}n'étant pas parabolique <math>\,\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\,\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <math>\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. est }}<math>\blacktriangleright\;</math>« révolutive pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="étude du mouvement d'un P.P.N.A. par diagramme d'énergies"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet de démontrer, }}la nature « périodique <math>\,\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le portrait de phase du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} 86dra8godrhv1dtkk8r5u8f0pupqs78 987895 987894 2026-10-29T16:38:08Z Phl7605 31541 /* Quelques commentaires */ 987895 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le portrait de phase du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique}}«<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>\;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie mécanique du P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «<math>\;\color{transparent}{E_m\!(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{P.P.N.A.}}(t) + U_{\text{pes}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P..P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}n'étant pas parabolique <math>\,\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\,\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <math>\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.N.A. vaut «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>».</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. est }}<math>\blacktriangleright\;</math>« révolutive pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="étude du mouvement d'un P.P.N.A. par diagramme d'énergies"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet de démontrer, }}la nature « périodique <math>\,\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le portrait de phase du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} h91mzjoeq87rptnvdt7qvae8fajm3fy 987896 987895 2026-10-29T17:03:39Z Phl7605 31541 /* Quelques commentaires */ 987896 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le portrait de phase du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique}}«<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>\;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie mécanique du P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «<math>\;\color{transparent}{E_m\!(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{P.P.N.A.}}(t) + U_{\text{pes}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P..P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}n'étant pas parabolique <math>\,\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\,\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <math>\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.N.A. vaut «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>».</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. est }}<math>\blacktriangleright\;</math>« révolutive pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="étude du mouvement d'un P.P.N.A. par diagramme d'énergies"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique <ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'intégrale 1^ère énergétique du P.P.N.A. s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^{\,2} + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet de démontrer, }}la nature « périodique <math>\,\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <math>\ldots</math> {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math><ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" /> de son mouvement lequel dépend de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. }}diffèrent suivant <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="différents portraits de phase d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} cgtdd79q6zutq4joczt5mdds6h63vzq 987897 987896 2026-10-29T21:28:15Z Phl7605 31541 /* Quelques commentaires */ 987897 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le portrait de phase du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique}}«<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>\;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie mécanique du P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «<math>\;\color{transparent}{E_m\!(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{P.P.N.A.}}(t) + U_{\text{pes}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P..P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}n'étant pas parabolique <math>\,\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\,\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <math>\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.N.A. vaut «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>».</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. est }}<math>\blacktriangleright\;</math>« révolutive pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="étude du mouvement d'un P.P.N.A. par diagramme d'énergies"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique <ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'intégrale 1^ère énergétique du P.P.N.A. s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^{\,2} + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet de démontrer, }}la nature « périodique <math>\,\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <math>\ldots</math> {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math><ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" /> de son mouvement lequel dépend de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. }}diffèrent suivant <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="différents portraits de phase d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, <br>{{Al|23}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\,\dot{\theta}\,</math> est <math>\,> 0</math>, <math>\,\theta \nearrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \nearrow\,</math> puis <math>\,\searrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|23}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} <br>{{Al|23}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, avec le point «<math>\;\color{transparent}{\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)}\;</math>» }}correspondant à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} 2kv4xg4vbh8xza61iisf3z0wyi6g2qz 987898 987897 2026-10-29T21:29:39Z Phl7605 31541 /* Quelques commentaires */ 987898 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le portrait de phase du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique}}«<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>\;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie mécanique du P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «<math>\;\color{transparent}{E_m\!(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{P.P.N.A.}}(t) + U_{\text{pes}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P..P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}n'étant pas parabolique <math>\,\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\,\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <math>\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.N.A. vaut «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>».</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. est }}<math>\blacktriangleright\;</math>« révolutive pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="étude du mouvement d'un P.P.N.A. par diagramme d'énergies"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique <ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'intégrale 1^ère énergétique du P.P.N.A. s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^{\,2} + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet de démontrer, }}la nature « périodique <math>\,\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <math>\ldots</math> {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math><ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" /> de son mouvement lequel dépend de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. }}diffèrent suivant <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="différents portraits de phase d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, <br>{{Al|25}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\,\dot{\theta}\,</math> est <math>\,> 0</math>, <math>\,\theta \nearrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \nearrow\,</math> puis <math>\,\searrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|25}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} <br>{{Al|25}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, avec le point «<math>\;\color{transparent}{\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)}\;</math>» }}correspondant à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} p3j0xmkoo99p826v5wgwfmsrlaiain0 987899 987898 2026-10-29T21:30:52Z Phl7605 31541 /* Quelques commentaires */ 987899 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le portrait de phase du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique}}«<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>\;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie mécanique du P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «<math>\;\color{transparent}{E_m\!(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{P.P.N.A.}}(t) + U_{\text{pes}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P..P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}n'étant pas parabolique <math>\,\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\,\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <math>\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.N.A. vaut «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>».</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. est }}<math>\blacktriangleright\;</math>« révolutive pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="étude du mouvement d'un P.P.N.A. par diagramme d'énergies"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique <ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'intégrale 1^ère énergétique du P.P.N.A. s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^{\,2} + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet de démontrer, }}la nature « périodique <math>\,\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <math>\ldots</math> {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math><ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" /> de son mouvement lequel dépend de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. }}diffèrent suivant <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="différents portraits de phase d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\,\dot{\theta}\,</math> est <math>\,> 0</math>, <math>\,\theta \nearrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \nearrow\,</math> puis <math>\,\searrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, avec le point «<math>\;\color{transparent}{\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)}\;</math>» }}correspondant à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} q29iwvyio59ubgxx17wg5xu288z8o8x 987900 987899 2026-10-29T21:47:15Z Phl7605 31541 /* Quelques commentaires */ 987900 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le portrait de phase du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique}}«<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>\;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie mécanique du P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «<math>\;\color{transparent}{E_m\!(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{P.P.N.A.}}(t) + U_{\text{pes}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P..P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}n'étant pas parabolique <math>\,\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\,\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <math>\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.N.A. vaut «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>».</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. est }}<math>\blacktriangleright\;</math>« révolutive pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="étude du mouvement d'un P.P.N.A. par diagramme d'énergies"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique <ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'intégrale 1^ère énergétique du P.P.N.A. s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^{\,2} + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet de démontrer, }}la nature « périodique <math>\,\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <math>\ldots</math> {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math><ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" /> de son mouvement lequel dépend de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. }}diffèrent suivant <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="différents portraits de phase d'un P.P.N.A."> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. 1b U 1a]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\,\big(</math>l'allure des portraits de phase d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti étant la même que ceux d'un pendule pesant simple non amorti<math>\big)\,</math> et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\,\dot{\theta}\,</math> est <math>\,> 0</math>, <math>\,\theta \nearrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \nearrow\,</math> puis <math>\,\searrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, avec le point «<math>\;\color{transparent}{\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)}\;</math>» }}correspondant à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} q3o6uy9f6tlkd5hi9vdxe8svuu4h8i6 987901 987900 2026-10-29T21:59:13Z Phl7605 31541 987901 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique}}«<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>\;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie mécanique du P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «<math>\;\color{transparent}{E_m\!(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{P.P.N.A.}}(t) + U_{\text{pes}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P..P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}n'étant pas parabolique <math>\,\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\,\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <math>\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.N.A. vaut «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>».</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. est }}<math>\blacktriangleright\;</math>« révolutive pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="étude du mouvement d'un P.P.N.A. par diagramme d'énergies"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique <ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'intégrale 1^ère énergétique du P.P.N.A. s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^{\,2} + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet de démontrer, }}la nature « périodique <math>\,\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <math>\ldots</math> {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Les [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math><ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" /> de son mouvement lequel dépend de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. }}diffèrent suivant <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="différents portraits de phase d'un P.P.N.A."> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. 1b U 1a]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\,\big(</math>l'allure des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti étant la même que ceux d'un [[w:Pendule_simple|pendule simple]] non amorti<math>\big)\,</math> et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\,\dot{\theta}\,</math> est <math>\,> 0</math>, <math>\,\theta \nearrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \nearrow\,</math> puis <math>\,\searrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, avec le point «<math>\;\color{transparent}{\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)}\;</math>» }}correspondant à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} pfs40l4kkq53qh3w78l1x7no35egs9x 987902 987901 2026-10-29T22:39:14Z Phl7605 31541 /* Quelques commentaires */ 987902 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique}}«<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>\;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie mécanique du P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «<math>\;\color{transparent}{E_m\!(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{P.P.N.A.}}(t) + U_{\text{pes}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P..P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}n'étant pas parabolique <math>\,\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\,\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <math>\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.N.A. vaut «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>».</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. est }}<math>\blacktriangleright\;</math>« révolutive pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="étude du mouvement d'un P.P.N.A. par diagramme d'énergies"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique <ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'intégrale 1^ère énergétique du P.P.N.A. s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^{\,2} + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet de démontrer, }}la nature « périodique <math>\,\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <math>\ldots</math> {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Les [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math><ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" /> de son mouvement lequel dépend de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. }}diffèrent suivant <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="différents portraits de phase d'un P.P.N.A."> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. 1b U 1a]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\,\big(</math>l'allure des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti étant la même que ceux d'un [[w:Pendule_simple|pendule simple]] non amorti<math>\big)\,</math> et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\,\dot{\theta}\,</math> est <math>\,> 0</math>, <math>\,\theta \nearrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \nearrow\,</math> puis <math>\,\searrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\,</math> est <math>\,< 0</math>, correspondant à <math>\,\theta \searrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \searrow\,</math> puis <math>\,\nearrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\,</math> en <math>\,-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\,\big(</math>en fait antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\,</math> en <math>\,-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\,\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\,\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\,</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\,\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\,\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, avec le point «<math>\;\color{transparent}{\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)}\;</math>» }}correspondant à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u><math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, son portrait de phase }}répété <math>\bullet\;</math>« vers les <math>\,\theta \nearrow\,</math> en restant dans le domaine des <math>\,\dot{\theta} > 0\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, son portrait de phase répété }}<math>\bullet\;</math>« vers les <math>\,\theta \searrow\,</math> en restant dans le domaine des <math>\,\dot{\theta} < 0\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» et celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>» <br>{{Al|32}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, le portrait de phase avec C.I. «<math>\;\color{transparent}{\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)}\;</math>» }}étant <u>antisymétriques</u> l'un de l'autre, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}les <u>maxima de</u><math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math><u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0\,</math> et <math>\,\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0\,</math> et <math>\,\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0\,</math> et <math>\,\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\,\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0\,</math> et <math>\,\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\,\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}les <u>minima de</u><math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math><u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;</math> <br>{{Al|32}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, les minima de<math>\;\color{transparent}{\vert \dot{\theta} \vert}\;</math>obtenus pour les positions d’équilibre instable «<math>\;\color{transparent}{\theta_{\text{éq. inst.}} =}</math> }}<math>\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\,\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} hcufapyhrhq48evqrtuzyjwy1jbcbs8 987903 987902 2026-10-29T22:41:17Z Phl7605 31541 /* Quelques commentaires */ 987903 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique}}«<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>\;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie mécanique du P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «<math>\;\color{transparent}{E_m\!(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{P.P.N.A.}}(t) + U_{\text{pes}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P..P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}n'étant pas parabolique <math>\,\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\,\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <math>\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.N.A. vaut «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>».</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. est }}<math>\blacktriangleright\;</math>« révolutive pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="étude du mouvement d'un P.P.N.A. par diagramme d'énergies"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique <ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'intégrale 1^ère énergétique du P.P.N.A. s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^{\,2} + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet de démontrer, }}la nature « périodique <math>\,\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <math>\ldots</math> {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Les [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math><ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" /> de son mouvement lequel dépend de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. }}diffèrent suivant <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="différents portraits de phase d'un P.P.N.A."> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. 1b U 1a]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\,\big(</math>l'allure des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti étant la même que ceux d'un [[w:Pendule_simple|pendule simple]] non amorti<math>\big)\,</math> et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\,\dot{\theta}\,</math> est <math>\,> 0</math>, <math>\,\theta \nearrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \nearrow\,</math> puis <math>\,\searrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\,</math> est <math>\,< 0</math>, correspondant à <math>\,\theta \searrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \searrow\,</math> puis <math>\,\nearrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\,</math> en <math>\,-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\,\big(</math>en fait antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\,</math> en <math>\,-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\,\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\,\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\,</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\,\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\,\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, avec le point «<math>\;\color{transparent}{\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)}\;</math>» }}correspondant à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u><math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, son portrait de phase }}répété <math>\bullet\;</math>« vers les <math>\,\theta \nearrow\,</math> en restant dans le domaine des <math>\,\dot{\theta} > 0\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, son portrait de phase répété }}<math>\bullet\;</math>« vers les <math>\,\theta \searrow\,</math> en restant dans le domaine des <math>\,\dot{\theta} < 0\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» et celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>» <br>{{Al|32}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, le portrait de phase avec C.I. «<math>\;\color{transparent}{\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)}\;</math>» }}étant <u>antisymétriques</u> l'un de l'autre, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}les <u>maxima de</u><math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math><u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0\,</math> et <math>\,\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0\,</math> et <math>\,\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0\,</math> et <math>\,\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\,\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0\,</math> et <math>\,\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\,\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}les <u>minima de</u><math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math><u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;</math> <br>{{Al|32}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, les minima de<math>\;\color{transparent}{\vert \dot{\theta} \vert}\;</math>obtenus pour les positions d’équilibre instable «<math>\;\color{transparent}{\theta_{\text{éq. inst.}} =}</math> }}<math>\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\,\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} rnleu4sowad8bgqxc7il66e6iohe4cr 987905 987903 2026-10-30T05:26:12Z Phl7605 31541 /* « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti */ 987905 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique}}«<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>\;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie mécanique du P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «<math>\;\color{transparent}{E_m\!(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{P.P.N.A.}}(t) + U_{\text{pes}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P..P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}n'étant pas parabolique <math>\,\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\,\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <math>\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.N.A. vaut «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>».</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. est }}<math>\blacktriangleright\;</math>« révolutive pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="étude du mouvement d'un P.P.N.A. par diagramme d'énergies"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique <ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'intégrale 1^ère énergétique du P.P.N.A. s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^{\,2} + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet de démontrer, }}la nature « périodique <math>\,\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <math>\ldots</math> {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Les [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math><ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" /> de son mouvement lequel dépend de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. }}diffèrent suivant <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="différents portraits de phase d'un P.P.N.A."> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. 1b U 1a]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\,\big(</math>l'allure des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti étant la même que ceux d'un [[w:Pendule_simple|pendule simple]] non amorti<math>\big)\,</math> et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\,\dot{\theta}\,</math> est <math>\,> 0</math>, <math>\,\theta \nearrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \nearrow\,</math> puis <math>\,\searrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\,</math> est <math>\,< 0</math>, correspondant à <math>\,\theta \searrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \searrow\,</math> puis <math>\,\nearrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\,</math> en <math>\,-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\,\big(</math>en fait antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\,</math> en <math>\,-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\,\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\,\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\,</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\,\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\,\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, avec le point «<math>\;\color{transparent}{\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)}\;</math>» }}correspondant à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u><math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, son portrait de phase }}répété <math>\bullet\;</math>« vers les <math>\,\theta \nearrow\,</math> en restant dans le domaine des <math>\,\dot{\theta} > 0\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, son portrait de phase répété }}<math>\bullet\;</math>« vers les <math>\,\theta \searrow\,</math> en restant dans le domaine des <math>\,\dot{\theta} < 0\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» et celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>» <br>{{Al|32}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, le portrait de phase avec C.I. «<math>\;\color{transparent}{\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)}\;</math>» }}étant <u>antisymétriques</u> l'un de l'autre, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}les <u>maxima de</u><math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math><u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0\,</math> et <math>\,\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0\,</math> et <math>\,\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0\,</math> et <math>\,\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\,\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0\,</math> et <math>\,\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\,\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}les <u>minima de</u><math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math><u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;</math> <br>{{Al|32}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, les minima de<math>\;\color{transparent}{\vert \dot{\theta} \vert}\;</math>obtenus pour les positions d’équilibre instable «<math>\;\color{transparent}{\theta_{\text{éq. inst.}} =}</math> }}<math>\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\,\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à }}la généralisation aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_théorème_de_la_variation_de_l’énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale le théorème de la puissance mécanique]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} ppkbb1lc19nnt8zs2oilp56jtqvpawl 987906 987905 2026-10-30T05:27:03Z Phl7605 31541 /* « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti */ 987906 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique}}«<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>\;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie mécanique du P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «<math>\;\color{transparent}{E_m\!(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{P.P.N.A.}}(t) + U_{\text{pes}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P..P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}n'étant pas parabolique <math>\,\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\,\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <math>\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.N.A. vaut «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>».</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. est }}<math>\blacktriangleright\;</math>« révolutive pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="étude du mouvement d'un P.P.N.A. par diagramme d'énergies"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique <ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'intégrale 1^ère énergétique du P.P.N.A. s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^{\,2} + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet de démontrer, }}la nature « périodique <math>\,\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <math>\ldots</math> {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Les [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math><ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" /> de son mouvement lequel dépend de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. }}diffèrent suivant <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="différents portraits de phase d'un P.P.N.A."> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. 1b U 1a]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\,\big(</math>l'allure des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti étant la même que ceux d'un [[w:Pendule_simple|pendule simple]] non amorti<math>\big)\,</math> et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\,\dot{\theta}\,</math> est <math>\,> 0</math>, <math>\,\theta \nearrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \nearrow\,</math> puis <math>\,\searrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\,</math> est <math>\,< 0</math>, correspondant à <math>\,\theta \searrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \searrow\,</math> puis <math>\,\nearrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\,</math> en <math>\,-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\,\big(</math>en fait antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\,</math> en <math>\,-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\,\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\,\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\,</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\,\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\,\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, avec le point «<math>\;\color{transparent}{\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)}\;</math>» }}correspondant à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u><math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, son portrait de phase }}répété <math>\bullet\;</math>« vers les <math>\,\theta \nearrow\,</math> en restant dans le domaine des <math>\,\dot{\theta} > 0\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, son portrait de phase répété }}<math>\bullet\;</math>« vers les <math>\,\theta \searrow\,</math> en restant dans le domaine des <math>\,\dot{\theta} < 0\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» et celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>» <br>{{Al|32}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, le portrait de phase avec C.I. «<math>\;\color{transparent}{\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)}\;</math>» }}étant <u>antisymétriques</u> l'un de l'autre, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}les <u>maxima de</u><math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math><u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0\,</math> et <math>\,\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0\,</math> et <math>\,\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0\,</math> et <math>\,\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\,\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0\,</math> et <math>\,\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\,\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}les <u>minima de</u><math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math><u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;</math> <br>{{Al|32}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, les minima de<math>\;\color{transparent}{\vert \dot{\theta} \vert}\;</math>obtenus pour les positions d’équilibre instable «<math>\;\color{transparent}{\theta_{\text{éq. inst.}} =}</math> }}<math>\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\,\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à }}la généralisation aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera faite dans le chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_théorème_de_la_variation_de_l’énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale le théorème de la puissance mécanique]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} cggsnqlqrw3h26tporjt4sffhee9895 987907 987906 2026-10-30T09:59:57Z Phl7605 31541 987907 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique}}«<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>\;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie mécanique du P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «<math>\;\color{transparent}{E_m\!(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{P.P.N.A.}}(t) + U_{\text{pes}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P..P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}n'étant pas parabolique <math>\,\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\,\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <math>\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.N.A. vaut «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>».</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. est }}<math>\blacktriangleright\;</math>« révolutive pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="étude du mouvement d'un P.P.N.A. par diagramme d'énergies"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique <ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'intégrale 1^ère énergétique du P.P.N.A. s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^{\,2} + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet de démontrer, }}la nature « périodique <math>\,\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <math>\ldots</math> {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Les [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math><ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" /> de son mouvement lequel dépend de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. }}diffèrent suivant <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="différents portraits de phase d'un P.P.N.A."> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. 1b U 1a]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\,\big(</math>l'allure des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti étant la même que ceux d'un [[w:Pendule_simple|pendule simple]] non amorti<math>\big)\,</math> et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\,\dot{\theta}\,</math> est <math>\,> 0</math>, <math>\,\theta \nearrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \nearrow\,</math> puis <math>\,\searrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\,</math> est <math>\,< 0</math>, correspondant à <math>\,\theta \searrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \searrow\,</math> puis <math>\,\nearrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\,</math> en <math>\,-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\,\big(</math>en fait antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\,</math> en <math>\,-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\,\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\,\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\,</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\,\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\,\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, avec le point «<math>\;\color{transparent}{\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)}\;</math>» }}correspondant à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u><math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, son portrait de phase }}répété <math>\bullet\;</math>« vers les <math>\,\theta \nearrow\,</math> en restant dans le domaine des <math>\,\dot{\theta} > 0\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, son portrait de phase répété }}<math>\bullet\;</math>« vers les <math>\,\theta \searrow\,</math> en restant dans le domaine des <math>\,\dot{\theta} < 0\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» et celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>» <br>{{Al|32}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, le portrait de phase avec C.I. «<math>\;\color{transparent}{\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)}\;</math>» }}étant <u>antisymétriques</u> l'un de l'autre, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}les <u>maxima de</u><math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math><u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0\,</math> et <math>\,\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0\,</math> et <math>\,\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0\,</math> et <math>\,\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\,\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0\,</math> et <math>\,\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\,\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}les <u>minima de</u><math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math><u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;</math> <br>{{Al|32}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, les minima de<math>\;\color{transparent}{\vert \dot{\theta} \vert}\;</math>obtenus pour les positions d’équilibre instable «<math>\;\color{transparent}{\theta_{\text{éq. inst.}} =}</math> }}<math>\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\,\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à }}la généralisation aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera faite dans le chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_théorème_de_la_variation_de_l’énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale le théorème de la puissance mécanique]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} gg2qryv6m2mz9lvn8zlchbye7ch7p0v 987909 987907 2026-10-30T10:14:56Z Phl7605 31541 /* Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » */ 987909 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique}}«<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>\;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie mécanique du P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «<math>\;\color{transparent}{E_m\!(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{P.P.N.A.}}(t) + U_{\text{pes}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P..P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}n'étant pas parabolique <math>\,\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\,\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <math>\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.N.A. vaut «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>».</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. est }}<math>\blacktriangleright\;</math>« révolutive pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="étude du mouvement d'un P.P.N.A. par diagramme d'énergies"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique <ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'intégrale 1^ère énergétique du P.P.N.A. s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^{\,2} + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet de démontrer, }}la nature « périodique <math>\,\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <math>\ldots</math> {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Les [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math><ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" /> de son mouvement lequel dépend de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. }}diffèrent suivant <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="différents portraits de phase d'un P.P.N.A."> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. 1b U 1a]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\,\big(</math>l'allure des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti étant la même que ceux d'un [[w:Pendule_simple|pendule simple]] non amorti<math>\big)\,</math> et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\,\dot{\theta}\,</math> est <math>\,> 0</math>, <math>\,\theta \nearrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \nearrow\,</math> puis <math>\,\searrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\,</math> est <math>\,< 0</math>, correspondant à <math>\,\theta \searrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \searrow\,</math> puis <math>\,\nearrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\,</math> en <math>\,-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\,\big(</math>en fait antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\,</math> en <math>\,-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\,\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\,\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\,</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\,\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\,\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, avec le point «<math>\;\color{transparent}{\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)}\;</math>» }}correspondant à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u><math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, son portrait de phase }}répété <math>\bullet\;</math>« vers les <math>\,\theta \nearrow\,</math> en restant dans le domaine des <math>\,\dot{\theta} > 0\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, son portrait de phase répété }}<math>\bullet\;</math>« vers les <math>\,\theta \searrow\,</math> en restant dans le domaine des <math>\,\dot{\theta} < 0\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» et celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>» <br>{{Al|32}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, le portrait de phase avec C.I. «<math>\;\color{transparent}{\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)}\;</math>» }}étant <u>antisymétriques</u> l'un de l'autre, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}les <u>maxima de</u><math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math><u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0\,</math> et <math>\,\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0\,</math> et <math>\,\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0\,</math> et <math>\,\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\,\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0\,</math> et <math>\,\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\,\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}les <u>minima de</u><math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math><u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;</math> <br>{{Al|32}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, les minima de<math>\;\color{transparent}{\vert \dot{\theta} \vert}\;</math>obtenus pour les positions d’équilibre instable «<math>\;\color{transparent}{\theta_{\text{éq. inst.}} =}</math> }}<math>\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\,\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à }}la généralisation aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera faite dans le chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_théorème_de_la_variation_de_l’énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale le théorème de la puissance mécanique]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» }}on y distingue deux types de forces extérieures appliquées <math>\bullet\;</math>celles qui sont conservatives <math>\,\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» on y distingue deux types de forces extérieures appliquées <math>\color{ransparent}{\bullet}\;</math>}}dont le travail pendant cette durée finie est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» on y distingue deux types de forces extérieures appliquées }}<math>\bullet\;</math>celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <br>{{Al|12}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» on y distingue deux types de forces extérieures appliquées <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>celles qui sont non conservatives dont }}est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} e9trwsffmvjsjistay5fatglximc2il 987910 987909 2026-10-30T10:15:53Z Phl7605 31541 /* Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » */ 987910 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique}}«<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>\;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie mécanique du P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «<math>\;\color{transparent}{E_m\!(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{P.P.N.A.}}(t) + U_{\text{pes}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P..P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}n'étant pas parabolique <math>\,\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\,\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <math>\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.N.A. vaut «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>».</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. est }}<math>\blacktriangleright\;</math>« révolutive pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="étude du mouvement d'un P.P.N.A. par diagramme d'énergies"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique <ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'intégrale 1^ère énergétique du P.P.N.A. s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^{\,2} + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet de démontrer, }}la nature « périodique <math>\,\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <math>\ldots</math> {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Les [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math><ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" /> de son mouvement lequel dépend de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. }}diffèrent suivant <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="différents portraits de phase d'un P.P.N.A."> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. 1b U 1a]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\,\big(</math>l'allure des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti étant la même que ceux d'un [[w:Pendule_simple|pendule simple]] non amorti<math>\big)\,</math> et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\,\dot{\theta}\,</math> est <math>\,> 0</math>, <math>\,\theta \nearrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \nearrow\,</math> puis <math>\,\searrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\,</math> est <math>\,< 0</math>, correspondant à <math>\,\theta \searrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \searrow\,</math> puis <math>\,\nearrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\,</math> en <math>\,-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\,\big(</math>en fait antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\,</math> en <math>\,-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\,\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\,\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\,</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\,\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\,\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, avec le point «<math>\;\color{transparent}{\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)}\;</math>» }}correspondant à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u><math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, son portrait de phase }}répété <math>\bullet\;</math>« vers les <math>\,\theta \nearrow\,</math> en restant dans le domaine des <math>\,\dot{\theta} > 0\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, son portrait de phase répété }}<math>\bullet\;</math>« vers les <math>\,\theta \searrow\,</math> en restant dans le domaine des <math>\,\dot{\theta} < 0\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» et celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>» <br>{{Al|32}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, le portrait de phase avec C.I. «<math>\;\color{transparent}{\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)}\;</math>» }}étant <u>antisymétriques</u> l'un de l'autre, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}les <u>maxima de</u><math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math><u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0\,</math> et <math>\,\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0\,</math> et <math>\,\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0\,</math> et <math>\,\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\,\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0\,</math> et <math>\,\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\,\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}les <u>minima de</u><math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math><u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;</math> <br>{{Al|32}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, les minima de<math>\;\color{transparent}{\vert \dot{\theta} \vert}\;</math>obtenus pour les positions d’équilibre instable «<math>\;\color{transparent}{\theta_{\text{éq. inst.}} =}</math> }}<math>\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\,\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à }}la généralisation aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera faite dans le chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_théorème_de_la_variation_de_l’énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale le théorème de la puissance mécanique]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» }}on y distingue deux types de forces extérieures appliquées <math>\bullet\;</math>celles qui sont conservatives <math>\,\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» on y distingue deux types de forces extérieures appliquées <math>\color{ransparent}{\bullet}\;</math>}}dont le travail pendant cette durée finie est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» on y distingue deux types de forces extérieures appliquées }}<math>\bullet\;</math>celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette durée finie <br>{{Al|12}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» on y distingue deux types de forces extérieures appliquées <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>celles qui sont non conservatives dont }}est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} 5en6uj6mhzngx544ygjc3b41cvxuokv 987912 987910 2026-10-30T10:23:42Z Phl7605 31541 /* Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » */ 987912 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique}}«<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>\;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie mécanique du P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «<math>\;\color{transparent}{E_m\!(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{P.P.N.A.}}(t) + U_{\text{pes}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P..P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}n'étant pas parabolique <math>\,\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\,\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <math>\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.N.A. vaut «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>».</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. est }}<math>\blacktriangleright\;</math>« révolutive pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="étude du mouvement d'un P.P.N.A. par diagramme d'énergies"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique <ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'intégrale 1^ère énergétique du P.P.N.A. s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^{\,2} + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet de démontrer, }}la nature « périodique <math>\,\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <math>\ldots</math> {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Les [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math><ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" /> de son mouvement lequel dépend de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. }}diffèrent suivant <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="différents portraits de phase d'un P.P.N.A."> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. 1b U 1a]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\,\big(</math>l'allure des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti étant la même que ceux d'un [[w:Pendule_simple|pendule simple]] non amorti<math>\big)\,</math> et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\,\dot{\theta}\,</math> est <math>\,> 0</math>, <math>\,\theta \nearrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \nearrow\,</math> puis <math>\,\searrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\,</math> est <math>\,< 0</math>, correspondant à <math>\,\theta \searrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \searrow\,</math> puis <math>\,\nearrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\,</math> en <math>\,-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\,\big(</math>en fait antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\,</math> en <math>\,-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\,\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\,\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\,</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\,\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\,\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, avec le point «<math>\;\color{transparent}{\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)}\;</math>» }}correspondant à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u><math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, son portrait de phase }}répété <math>\bullet\;</math>« vers les <math>\,\theta \nearrow\,</math> en restant dans le domaine des <math>\,\dot{\theta} > 0\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, son portrait de phase répété }}<math>\bullet\;</math>« vers les <math>\,\theta \searrow\,</math> en restant dans le domaine des <math>\,\dot{\theta} < 0\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» et celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>» <br>{{Al|32}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, le portrait de phase avec C.I. «<math>\;\color{transparent}{\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)}\;</math>» }}étant <u>antisymétriques</u> l'un de l'autre, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}les <u>maxima de</u><math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math><u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0\,</math> et <math>\,\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0\,</math> et <math>\,\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0\,</math> et <math>\,\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\,\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0\,</math> et <math>\,\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\,\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}les <u>minima de</u><math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math><u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;</math> <br>{{Al|32}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, les minima de<math>\;\color{transparent}{\vert \dot{\theta} \vert}\;</math>obtenus pour les positions d’équilibre instable «<math>\;\color{transparent}{\theta_{\text{éq. inst.}} =}</math> }}<math>\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\,\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à }}la généralisation aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera faite dans le chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_théorème_de_la_variation_de_l’énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale le théorème de la puissance mécanique]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» }}on y distingue deux types de forces extérieures appliquées <math>\bullet\;</math>celles qui sont conservatives <math>\,\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» on y distingue deux types de forces extérieures appliquées <math>\color{ransparent}{\bullet}\;</math>}}dont le travail pendant cette durée finie est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» on y distingue deux types de forces extérieures appliquées }}<math>\bullet\;</math>celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette durée finie <br>{{Al|13}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» on y distingue deux types de forces extérieures appliquées <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>celles qui sont non conservatives dont }}est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» }}d'où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, avec «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} kcd53m5ssy95vgry4wfkfccdamj0l3b 987914 987912 2026-10-30T10:26:47Z Phl7605 31541 987914 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique}}«<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>\;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie mécanique du P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «<math>\;\color{transparent}{E_m\!(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{P.P.N.A.}}(t) + U_{\text{pes}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P..P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}n'étant pas parabolique <math>\,\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\,\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <math>\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.N.A. vaut «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>».</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. est }}<math>\blacktriangleright\;</math>« révolutive pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="étude du mouvement d'un P.P.N.A. par diagramme d'énergies"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique <ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'intégrale 1^ère énergétique du P.P.N.A. s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^{\,2} + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet de démontrer, }}la nature « périodique <math>\,\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <math>\ldots</math> {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Les [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math><ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" /> de son mouvement lequel dépend de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. }}diffèrent suivant <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="différents portraits de phase d'un P.P.N.A."> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. 1b U 1a]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\,\big(</math>l'allure des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti étant la même que ceux d'un [[w:Pendule_simple|pendule simple]] non amorti<math>\big)\,</math> et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\,\dot{\theta}\,</math> est <math>\,> 0</math>, <math>\,\theta \nearrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \nearrow\,</math> puis <math>\,\searrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\,</math> est <math>\,< 0</math>, correspondant à <math>\,\theta \searrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \searrow\,</math> puis <math>\,\nearrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\,</math> en <math>\,-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\,\big(</math>en fait antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\,</math> en <math>\,-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\,\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\,\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\,</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\,\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\,\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, avec le point «<math>\;\color{transparent}{\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)}\;</math>» }}correspondant à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u><math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, son portrait de phase }}répété <math>\bullet\;</math>« vers les <math>\,\theta \nearrow\,</math> en restant dans le domaine des <math>\,\dot{\theta} > 0\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, son portrait de phase répété }}<math>\bullet\;</math>« vers les <math>\,\theta \searrow\,</math> en restant dans le domaine des <math>\,\dot{\theta} < 0\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» et celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>» <br>{{Al|32}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, le portrait de phase avec C.I. «<math>\;\color{transparent}{\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)}\;</math>» }}étant <u>antisymétriques</u> l'un de l'autre, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}les <u>maxima de</u><math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math><u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0\,</math> et <math>\,\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0\,</math> et <math>\,\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0\,</math> et <math>\,\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\,\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0\,</math> et <math>\,\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\,\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}les <u>minima de</u><math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math><u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;</math> <br>{{Al|32}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, les minima de<math>\;\color{transparent}{\vert \dot{\theta} \vert}\;</math>obtenus pour les positions d’équilibre instable «<math>\;\color{transparent}{\theta_{\text{éq. inst.}} =}</math> }}<math>\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\,\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à }}la généralisation aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera faite dans le chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_théorème_de_la_variation_de_l’énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale le théorème de la puissance mécanique]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» }}on y distingue deux types de forces extérieures appliquées <math>\bullet\;</math>celles qui sont conservatives <math>\,\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» on y distingue deux types de forces extérieures appliquées <math>\color{ransparent}{\bullet}\;</math>}}dont le travail pendant cette durée finie est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» on y distingue deux types de forces extérieures appliquées }}<math>\bullet\;</math>celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette durée finie <br>{{Al|12}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» on y distingue deux types de forces extérieures appliquées <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>celles qui sont non conservatives dont }}est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} 18z4d0muxngnwaa7shafflxjlpzovep 987915 987914 2026-10-30T10:47:19Z Phl7605 31541 /* Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » */ 987915 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique}}«<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>\;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie mécanique du P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «<math>\;\color{transparent}{E_m\!(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{P.P.N.A.}}(t) + U_{\text{pes}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P..P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}n'étant pas parabolique <math>\,\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\,\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <math>\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.N.A. vaut «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>».</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. est }}<math>\blacktriangleright\;</math>« révolutive pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="étude du mouvement d'un P.P.N.A. par diagramme d'énergies"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique <ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'intégrale 1^ère énergétique du P.P.N.A. s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^{\,2} + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet de démontrer, }}la nature « périodique <math>\,\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <math>\ldots</math> {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Les [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math><ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" /> de son mouvement lequel dépend de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. }}diffèrent suivant <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="différents portraits de phase d'un P.P.N.A."> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. 1b U 1a]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\,\big(</math>l'allure des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti étant la même que ceux d'un [[w:Pendule_simple|pendule simple]] non amorti<math>\big)\,</math> et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\,\dot{\theta}\,</math> est <math>\,> 0</math>, <math>\,\theta \nearrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \nearrow\,</math> puis <math>\,\searrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\,</math> est <math>\,< 0</math>, correspondant à <math>\,\theta \searrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \searrow\,</math> puis <math>\,\nearrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\,</math> en <math>\,-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\,\big(</math>en fait antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\,</math> en <math>\,-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\,\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\,\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\,</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\,\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\,\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, avec le point «<math>\;\color{transparent}{\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)}\;</math>» }}correspondant à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u><math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, son portrait de phase }}répété <math>\bullet\;</math>« vers les <math>\,\theta \nearrow\,</math> en restant dans le domaine des <math>\,\dot{\theta} > 0\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, son portrait de phase répété }}<math>\bullet\;</math>« vers les <math>\,\theta \searrow\,</math> en restant dans le domaine des <math>\,\dot{\theta} < 0\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» et celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>» <br>{{Al|32}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, le portrait de phase avec C.I. «<math>\;\color{transparent}{\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)}\;</math>» }}étant <u>antisymétriques</u> l'un de l'autre, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}les <u>maxima de</u><math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math><u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0\,</math> et <math>\,\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0\,</math> et <math>\,\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0\,</math> et <math>\,\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\,\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0\,</math> et <math>\,\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\,\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}les <u>minima de</u><math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math><u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;</math> <br>{{Al|32}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, les minima de<math>\;\color{transparent}{\vert \dot{\theta} \vert}\;</math>obtenus pour les positions d’équilibre instable «<math>\;\color{transparent}{\theta_{\text{éq. inst.}} =}</math> }}<math>\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\,\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à }}la généralisation aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera faite dans le chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_théorème_de_la_variation_de_l’énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale le théorème de la puissance mécanique]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» }}on y distingue deux types de forces extérieures appliquées <math>\bullet\;</math>celles qui sont conservatives <math>\,\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» on y distingue deux types de forces extérieures appliquées <math>\color{ransparent}{\bullet}\;</math>}}dont le travail pendant cette durée finie est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» on y distingue deux types de forces extérieures appliquées }}<math>\bullet\;</math>celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette durée finie <br>{{Al|12}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» on y distingue deux types de forces extérieures appliquées <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>celles qui sont non conservatives dont }}est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» }}d'où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, avec «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{ransparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» ou, }}<math>\big(U_{\text{ext}}\,</math> étant l'énergie potentielle dont dérivent les forces conservatives <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{ransparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» ou, <math>\color{ransparent}{\big(}</math>}}définie à une constante additive près précisée par choix de référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math> {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} 415ereef3vgzl9livfkux4ogbqhjwj7 987916 987915 2026-10-30T11:16:53Z Phl7605 31541 /* Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » */ 987916 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique}}«<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>\;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie mécanique du P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «<math>\;\color{transparent}{E_m\!(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{P.P.N.A.}}(t) + U_{\text{pes}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P..P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}n'étant pas parabolique <math>\,\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\,\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <math>\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.N.A. vaut «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>».</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. est }}<math>\blacktriangleright\;</math>« révolutive pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="étude du mouvement d'un P.P.N.A. par diagramme d'énergies"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique <ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'intégrale 1^ère énergétique du P.P.N.A. s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^{\,2} + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet de démontrer, }}la nature « périodique <math>\,\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <math>\ldots</math> {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Les [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math><ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" /> de son mouvement lequel dépend de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. }}diffèrent suivant <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="différents portraits de phase d'un P.P.N.A."> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. 1b U 1a]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\,\big(</math>l'allure des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti étant la même que ceux d'un [[w:Pendule_simple|pendule simple]] non amorti<math>\big)\,</math> et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\,\dot{\theta}\,</math> est <math>\,> 0</math>, <math>\,\theta \nearrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \nearrow\,</math> puis <math>\,\searrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\,</math> est <math>\,< 0</math>, correspondant à <math>\,\theta \searrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \searrow\,</math> puis <math>\,\nearrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\,</math> en <math>\,-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\,\big(</math>en fait antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\,</math> en <math>\,-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\,\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\,\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\,</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\,\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\,\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, avec le point «<math>\;\color{transparent}{\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)}\;</math>» }}correspondant à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u><math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, son portrait de phase }}répété <math>\bullet\;</math>« vers les <math>\,\theta \nearrow\,</math> en restant dans le domaine des <math>\,\dot{\theta} > 0\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, son portrait de phase répété }}<math>\bullet\;</math>« vers les <math>\,\theta \searrow\,</math> en restant dans le domaine des <math>\,\dot{\theta} < 0\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» et celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>» <br>{{Al|32}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, le portrait de phase avec C.I. «<math>\;\color{transparent}{\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)}\;</math>» }}étant <u>antisymétriques</u> l'un de l'autre, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}les <u>maxima de</u><math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math><u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0\,</math> et <math>\,\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0\,</math> et <math>\,\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0\,</math> et <math>\,\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\,\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0\,</math> et <math>\,\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\,\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}les <u>minima de</u><math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math><u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;</math> <br>{{Al|32}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, les minima de<math>\;\color{transparent}{\vert \dot{\theta} \vert}\;</math>obtenus pour les positions d’équilibre instable «<math>\;\color{transparent}{\theta_{\text{éq. inst.}} =}</math> }}<math>\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\,\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à }}la généralisation aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera faite dans le chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_théorème_de_la_variation_de_l’énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale le théorème de la puissance mécanique]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» }}on y distingue deux types de forces extérieures appliquées <math>\bullet\;</math>celles qui sont conservatives <math>\,\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» on y distingue deux types de forces extérieures appliquées <math>\color{ransparent}{\bullet}\;</math>}}dont le travail pendant cette durée finie est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» on y distingue deux types de forces extérieures appliquées }}<math>\bullet\;</math>celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette durée finie <br>{{Al|12}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» on y distingue deux types de forces extérieures appliquées <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>celles qui sont non conservatives dont }}est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» }}d'où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, avec «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{ransparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» ou, }}<math>\big(U_{\text{ext}}\,</math> étant l'énergie potentielle dont dérivent les forces conservatives <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{ransparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» ou, <math>\color{ransparent}{\big(}</math>}}définie à une constante additive près précisée par choix de référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» <math>\color{ransparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{ransparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» d’où }}dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen sur la durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» <math>\color{ransparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{ransparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» d’où }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» <math>\color{ransparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{ransparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» d’où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\left( \mathcal{S} \right)} + U_{\text{ext}} \right] = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» où on reconnaît dans le 1^er membre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» <math>\color{ransparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{ransparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» d’où }}la variation de l’énergie mécanique «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>» du « solide <math>\,\mathcal{S}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» <math>\color{ransparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{ransparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» d’où }}dans le champ des forces conservatives sur la durée <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> dans le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» <math>\color{ransparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{ransparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» d’où dans le champ des forces conservatives }}référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen d'où, au final, ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} nsrjz5g438r0euf52fzcer40xkq4vfs 987917 987916 2026-10-30T11:28:33Z Phl7605 31541 /* Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » */ 987917 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple"> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,U_{\text{tors}}\,</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}est définie par «<math>\,\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\,</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> c.-à-d. «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(\alpha)\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\,</math> ou <math>\,-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> en intégrant «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{tors}}(\alpha) = 2\; C\;\alpha^2 + cste}\;</math>» ; choisissant la référence }}quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\,U_{\text{tors}}(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\,\color{transparent}{U_{\text{tors}}}\,</math> }}l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec un seul fil de torsion, l'autre fil étant sans torsion <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec un seul fil de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}commune du fil de torsion et du fil sans torsion <math>\;\big(</math>orientée par le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> étant le couple « conservatif » de torsion <ref name="conservativité du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Caractère_conservatif_du_couple_de_torsion|caractère conservatif du couple de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion la seule action }}moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion /> auquel on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie potentielle de torsion du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre valant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;U_{\text{tors}}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion énergie potentielle de torsion }}<math>\,\dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\,\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_torsion_du_solide_relié_au_fil_de_torsion|énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}son énergie cinétique à la date <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique }}<math>J_{CO_{\text{sup}}}\,</math> est le moment d'inertie du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] relativement à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion son énergie cinétique <math>\color{transparent}{J_{CO_{\text{sup}}}}\,</math> est }}direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à l'instant <math>\,t\,</math> selon «<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] (2^ème propriété) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet le prolongement de sa validité à un soilde.</ref> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{pend. tors.}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion avec un seul fil de torsion, finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha_0 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> et <math>\,\dot{\alpha}(0) = 0\;</math>». [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]]]] {{Al|5}}Considérant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti avec deux fils de torsion verticaux situés de part et d'autre de la tige <math>\,\big(</math>voir photographie ci-contre<math>\big)\;</math><ref name="pendule de torsion avec deux fils de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}la direction commune <math>\,\Delta_C\,</math> des deux fils de torsion <math>\,\big(</math>orientée par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}élémentaire du solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}supérieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\,</math> qui s'intègre en <math>\,U_{\text{tors. sup.}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,= \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> et, en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil supérieur du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}<math>\bullet\;</math>le couple de torsion du fil inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}solide d'angle <math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\ = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>= -C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» ce qui est une différentielle de fonction et prouve le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u> <ref name="preuve du caractère conservatif d'un couple" />, lequel « dérive » de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}inférieur définie, à une constante additive près, par «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math><ref name="énergie potentielle de torsion" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en prenant pour référence de <math>\,U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /> <math>\Rightarrow</math> l'énergie potentielle de torsion par fil inférieur du solide « tige + masselottes » «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions }}finalement l'énergie potentielle globale de torsion du solide « tige + masselottes » <math>\,\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale }}s'écrit «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» ou, en simplifiant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion il y a deux actions finalement l'énergie potentielle globale s'écrit }}«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + 2\;C\; \theta_1^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2} = C\; \theta^{\,2} - 2\;C\;\theta\;\theta_1 + C\; \theta_1^{\,2} = C\, \left( \theta - \theta_1 \right)^2</math>.</ref>{{,}} <ref> Cette énergie potentielle de torsion du solide « tige + masselottes » est la même que celle que l'on obtiendrait avec un seul fil de torsion de constante de torsion <math>\,2\,C</math>, l'autre fil étant sans torsion avec la référence en la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule ci-dessus étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#%Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torion par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique de l'ensemble tige + masselottes) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » du pendule }}<math>\,J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\,</math> moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils définie, à l'instant <math>\,t\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion l'énergie mécanique }}«<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> s’écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{tige + masselottes}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{tige + masselottes}} + U_{\text{tors}} \right] = 0}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le pendule de torsion finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\alpha\;</math>» dans le 1^er exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] ou <br>{{Al|57}}celui «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = C\, \left[ \theta - \theta_1 \right]^2 \,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du 2^ème exemple de [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|même]] paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}étant parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> de son mouvement dans le 2^ème exemple du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + C\, \left[ \theta(t) - \theta_1 \right]^2 = C\, \left[ \theta_0 - \theta_1 \right]^2\;</math>», <br>{{Al|58}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le portrait de phase du pendule de torsion ayant pour équation implicite l'intégrale 1^ère <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> de son mouvement }}est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <ref name="portrait de phase d'un socillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, le poids du solide étant la seule action extérieure travaillant et ce dernier étant conservatif <ref name="poids d'un objet conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Établissement_du_caractère_«_conservatif_»_du_poids_d'un_point_matériel_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|établissement du caractère conservatif du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}on lui associe l'énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math>» <ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniformz)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> déterminée en intégrant «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)\,</math> travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\,d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\,</math> autour de <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe «<math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right)}\,</math>}}<math>= \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» <ref name="travail élémentaire du poids du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (actions extérieures exercées sur le solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}<math>\,-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\,</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « }}soit, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\,\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» d'où <math>\,U_{\text{pes}}(0) = 0\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe « soit, en choisissant comme référence }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,0 = -m\;g\;\mathfrak{a} + cste\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = m\;g\;\mathfrak{a}\,</math> d'où l'expression de <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> se réécrit selon <br>{{Al|19}}{{Transparent|Dans le cas d'un P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, on lui associe }}«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\,\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\,</math> sachant que <math>\,z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\,</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\,z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\,\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>. === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}Considérant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <math>\,\big(</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <ref name='schéma du P.P.N.A." /><math>\big)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant «<math>\;U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,</math> avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> <math>\,\theta_{\text{équi. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P."/> » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique du solide d'un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] (puissance cinétique du solide du P.P.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie cinétique}}«<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>,}}l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>\;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma plus haut dans ce chapitre <math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'énergie mécanique du P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «<math>\;\color{transparent}{E_m\!(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}le théorème de l’énergie cinétique appliqué au [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique }}«<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle - bis" /> d'où «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» soit encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math>» <ref> Car <math>\,K_{\text{P.P.N.A.}}(t) + U_{\text{pes}}(t)\,</math> définit l'énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,E_m(t)</math>.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant le P..P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{pes}}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0}\;</math>» }}ou «<math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. le théorème de l’énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = W_{\text{pes},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» }}c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]]</u><math>\,\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A. }}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\,</math> du mouvement de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule pesant]] non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant le P.P.N.A., finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère }}«<math>E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>». === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\,</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\,\theta\;</math>» du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|précédent]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}n'étant pas parabolique <math>\,\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\,\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)\;</math><ref name="2ème définition d'un osillateur harmonique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle }}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <math>\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.N.A. vaut «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>».</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. est }}<math>\blacktriangleright\;</math>« révolutive pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="étude du mouvement d'un P.P.N.A. par diagramme d'énergies"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique <ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque"> Dans les C.I. «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> et <math>\,\theta(0) = \theta_0\;</math>» l'intégrale 1^ère énergétique du P.P.N.A. s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^{\,2} + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet de démontrer, }}la nature « périodique <math>\,\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>Le diagramme d’énergie potentielle une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <math>\ldots</math> {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Les [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\,\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math><ref name="intégrale 1ère énergétique du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" /> de son mouvement lequel dépend de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. }}diffèrent suivant <math>\,E_{m,\,0}\;</math><ref name="expression de Em0 du P.P.N.A. dans C.I. quelconque" />{{,}} <ref name="différents portraits de phase d'un P.P.N.A."> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. 1b U 1a]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\,\big(</math>l'allure des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti étant la même que ceux d'un [[w:Pendule_simple|pendule simple]] non amorti<math>\big)\,</math> et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\,\dot{\theta}\,</math> est <math>\,> 0</math>, <math>\,\theta \nearrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \nearrow\,</math> puis <math>\,\searrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\,</math> est <math>\,< 0</math>, correspondant à <math>\,\theta \searrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \searrow\,</math> puis <math>\,\nearrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\,</math> en <math>\,-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\,\big(</math>en fait antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\,</math> en <math>\,-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\,\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\,\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\,</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\,\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\,\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, avec le point «<math>\;\color{transparent}{\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)}\;</math>» }}correspondant à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\,E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u><math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, son portrait de phase }}répété <math>\bullet\;</math>« vers les <math>\,\theta \nearrow\,</math> en restant dans le domaine des <math>\,\dot{\theta} > 0\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, son portrait de phase répété }}<math>\bullet\;</math>« vers les <math>\,\theta \searrow\,</math> en restant dans le domaine des <math>\,\dot{\theta} < 0\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» et celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>» <br>{{Al|32}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, le portrait de phase avec C.I. «<math>\;\color{transparent}{\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)}\;</math>» }}étant <u>antisymétriques</u> l'un de l'autre, <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}les <u>maxima de</u><math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math><u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0\,</math> et <math>\,\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0\,</math> et <math>\,\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0\,</math> et <math>\,\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\,\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0\,</math> et <math>\,\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\,\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|26}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, }}les <u>minima de</u><math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math><u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\,G\,</math> sur la verticale passant par <math>\,O\,</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;</math> <br>{{Al|32}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. diffèrent suivant <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\,\color{transparent}{E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}}</math>, les minima de<math>\;\color{transparent}{\vert \dot{\theta} \vert}\;</math>obtenus pour les positions d’équilibre instable «<math>\;\color{transparent}{\theta_{\text{éq. inst.}} =}</math> }}<math>\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\,\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à }}la généralisation aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera faite dans le chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_théorème_de_la_variation_de_l’énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale le théorème de la puissance mécanique]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» }}on y distingue deux types de forces extérieures appliquées <math>\bullet\;</math>celles qui sont conservatives <math>\,\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» on y distingue deux types de forces extérieures appliquées <math>\color{ransparent}{\bullet}\;</math>}}dont le travail pendant cette durée finie est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» on y distingue deux types de forces extérieures appliquées }}<math>\bullet\;</math>celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette durée finie <br>{{Al|12}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» on y distingue deux types de forces extérieures appliquées <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>celles qui sont non conservatives dont }}est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» }}d'où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, avec «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{ransparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» ou, }}<math>\big(U_{\text{ext}}\,</math> étant l'énergie potentielle dont dérivent les forces conservatives <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{ransparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» ou, <math>\color{ransparent}{\big(}</math>}}définie à une constante additive près précisée par choix de référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» <math>\color{ransparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{ransparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» d’où }}dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen sur la durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» <math>\color{ransparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{ransparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» d’où }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» <math>\color{ransparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{ransparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» d’où }}«<math>\;\Delta \left[ K_{\left( \mathcal{S} \right)} + U_{\text{ext}} \right] = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» où on reconnaît dans le 1^er membre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» <math>\color{ransparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{ransparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» d’où }}la variation de l’énergie mécanique «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>» du « solide <math>\,\mathcal{S}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» <math>\color{ransparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{ransparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» d’où }}dans le champ des forces conservatives sur la durée <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> dans le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» <math>\color{ransparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{ransparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» d’où dans le champ des forces conservatives }}référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen d'où, finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» }}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\,\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» le lien }}le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» }}«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d’étude galiléen, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\,\color{ransparent}{\mathcal{S}}\;</math>» }}l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <ref> Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\,\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\,\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\,</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale <math>\;\ldots</math></ref>. : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ou d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} 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